前言

此乃小 Oler 的一篇算法随笔，从今日后，还会进行详细的修订。

---

一、简单介绍（MST）

在一给定的无向图 $G=(V,E)$ 中， $(u,v)$ 代表连接顶点 $u$ 与顶点 $v$ 的边，而 $w(u,v)$ 代表此边的权重，若存在 $T$ 为 $E$ 的子集且为无循环图，使得连通所有结点的的 $w(T)$ 最小，则此 $T$ 为 $G$ 的最小生成树。

$$w(t)=\sum _{(u,v)\in t}w(u,v)$$

最小生成树其实是最小权重生成树的简称。

---

二、概念 and 性质 and 证明

概念

最小生成树：

• 生成树：一个连通图的生成树包含图的所有顶点，并且只含尽可能少的边。对于生成树来说，若砍去它的一条边，则会使生成树变成非连通图；若给它增加一条边，则会形成图的一条回路。

• 最小生成树：对于一个带权连通无向图 $G=(V,E)$ ，生成树不同，每棵树的权（即树中所有边上得权值之和）也可能不同。设 $R$ 为 $G$ 的所有生成树的集合，若 $T$ 为 $R$ 中边的权值之和最小的那棵生成树，则 $T$ 称为 $G$ 的最小生成树（Minimum-Spanning-Tree,MST）。

性质

• 最小生成树不是唯一的，即最小生成树的树形不唯一， $R$ 中可能有多个最小生成树。当图 $G$ 中的各边权值互不相等时， $G$ 本身是一棵树时，则 $G$ 的最小生成树就是它本身。

• 最小生成树的边的权值之和总是唯一的，虽然最小生成树不唯一，但其对应的边的权值之和总是唯一的，而且是最小的。

• 最小生成树的边数为树的顶点减 $1$ 。

说明

MST性质：

• 设 $G=(V,E)$ 是一个连通网络，$U$ 是顶点集 $V$ 的一个非空真子集。若 $(u,v)$ 是 $G$ 中一条“一个端点在 $U$ 中（如， $u\in U$ ），另一个端点不在 $U$ 中的边（如， $v\in V-U$ ），且 $(u,v)$ 具有最小权值，则一定存在 $G$ 的一棵最小生成树包括此边 $(u,v)$ 。

证明

为方便说明，先作以下约定：

①. 将集合 $U$ 中的顶点看作是红色顶点；

②. 而 $V-U$ （即非子集内的顶点）中的顶点看作是蓝色顶点；

③. 连接红点和蓝点的边看作是紫色边；

④. 权最小的紫边称为轻边（即权重最“轻”的边）。

于是，MST性质中所述的边 $(u,v)$ 就可简称为轻边。

用反证法证明MST性质：

假设 $G$ 中任何一棵MST都不含轻边 $(u,v)$ 。则若 $T$ 为 $G$ 的任意一棵MST，那么它不含此轻边。

根据树的定义，则 $T$ 中必有一条从红点 $u$ 到蓝点 $v$ 的路径 $P$ ，且 $P$ 上必有一条紫边 $(u^{\prime },v^{\prime })$ 连接红点集和蓝点集，否则 $u$ 和 $v$ 不连通。当把轻边 $(u,v)$ 加入树 $T$ 时，该轻边和 $P$ 必构成了一个回路。删去紫边 $(u^{\prime },v^{\prime })$ 后回路亦消除，由此可得另一生成树 $T^{\prime }$ 。

$T^{\prime }$ 和 $T$ 的差别仅在于 $T^{\prime }$ 用轻边 $(u,v)$ 取代了 $T$ 中权重可能更大的紫边 $(u^{\prime },v^{\prime })$ 。因为 $w(u,v)\le w(u^{\prime },v^{\prime })$，所以 $w(T^{\prime })=w(T)+w(u,v)-w(u^{\prime },v^{\prime })\le w(T)$ 即 $T^{\prime }$ 是一棵比 $T$ 更优的MST，所以 $T$ 不是 $G$ 的MST，这与假设矛盾。 所以，MST性质成立。

---

三、代码实现

Prim 算法

I.初始化

$acr{s}_{i,j}=+\mathrm{\infty }$ ：表示顶点 $i$ 到顶点 $j$ 的边权值。

$dis{t}_i=+\mathrm{\infty }$：表示顶点 $i$ 在真最小生成树中离它最近的节点的距离。

$f_i=false$ ：表示顶点 $i$ 是否已经在最小生成树中。

II.算法流程

• 从图中任取一顶点加入树 $T$ ，此时树中只含有一个顶点；

• 之后选择一个与当前 $T$ 中顶点集合距离最近的顶点，并将该顶点和相应的边加入 $T$ ；

• 每次操作后 $T$ 中的顶点树和边数都增加 $1$ ，并且把边权值加入记录权总和的 $res$ 中。

• 以此类推，直至图中所有顶点都并入 $T$，得到的 $T$ 就是最小生成树，此时 $T$ 中必然有 $n-1$ 条边，若原本的图属于非连通图，那必然也会有若干个顶点无法找到依附于它的顶点，直接返回 $\mathrm{\infty }$ 。

Code（加点大法）

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int oo=0x3f3f3f3f;
const int N=520;
int n,m,s,u,v,w,res;
int dist[N],arcs[N][N];
bool f[N];    //标记数组标记点是否已经在生成树集合中
void prim() {
	dist[s]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		int t=-1;
		for(int j=1;j<=n;j++) {    //选择最小距离的点
			if(!f[j]&&(t==-1||dist[j]<dist[t])) 
				t=j;
		}
		if(dist[t]==oo) {
			res=oo;
			return ;
		}
		res+=dist[t];
		f[t]=1;
		for(int k=1;k<=n;k++) {    //更新最小距离
			if(f[k]==0&&dist[k]>arcs[t][k])
				dist[k]=arcs[t][k];
		}
	}
	return ;
}
signed main() {
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	memset(dist,oo,sizeof dist);
	memset(arcs,oo,sizeof arcs);   //初始化
	while(m--) {
		scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);
		arcs[u][v]=arcs[v][u]=min(arcs[u][v],w);   //输入权值取最小
	}
	s=1;
	prim();
	if(res==oo) printf("impossible\n");
	else printf("%lld\n",res);
	return 0;
}

---

Prim+堆优化 算法

Prim 的堆优化和 Dijkstra 的堆优化差不多。

I.邻接表存图

由于要使用到优先队列堆优化 Prim 的时间运行效率，在访问时遍历其相邻的边即可，所以只需要用到邻接表来存图。

struct Node {
	int to,w,nxt;
	Node() {
		to=nxt=w=0;
	} 
	Node(int a,int b,int c) {
		to=a;
		nxt=b;
		w=c;
	}
}adj[N];

这确实非常容易理解，不必多说了。

II.流程

• 将优先队列定义成小根堆，优先队列元素为 $pair<int,int>$ ，其中第一个元素含义为图中顶点 $v_i$ 到真最小生成树中最近的节点 $j$ 的距离 $dis{t}_j$ ，第二个元素为节点编号 $v_j$ 。

• 初始化：$dis{t}_i=\mathrm{\infty }$

• 将源点 $dist[v_0]$ 设置成 $0$ ，并将 { $dist[v_0],v_0$ } 放入优先队列。

• 去取出栈顶的元素，如果，堆顶节点 $v_j$ 已经在集合 $T$ 中，则舍弃该顶点，再次取出堆顶元素，否则把该节点 $v_j$ 加入集合 $T$ 中，修改从顶点 $v_j$ 出发到集合 $T$ 内最近的节点 $v_k$ 的可达最短长度 $dist[k]$ ；若 $dist[k]>value<j,k>$ 则更新 $dist[k]=value<j,k>$，其中 $value<j,k>$ 代表 $v_j$ 到 $v_k$ 的边权值。并把节点 { $dist[k],k$ } 加入队列当中。

Code2（堆优化大法）

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define M(x,y) make_pair(x,y)
using namespace std; 
typedef pair<int,int> pll;    //稀疏图用邻接表来存
const int oo=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+10; 
int n,m,s,x,y,z;
struct Node {
	int to,w,nxt;
	Node() {
		to=nxt=w=0;
	}
	Node(int a,int b,int c) {
		to=a;
		nxt=b;
		w=c;
	}
}adj[N];
int head[N],idx;
int dist[N],res;
int cnt;
bool st[N];    //如果true说明这个顶点i在集合T中
priority_queue<pll,vector<pll>,greater<pll> >heap; 
inline void add(int x,int y,int z) {
	adj[++idx]=Node(y,head[x],z);
	head[x]=idx;
}
void prim() {
	for(int i=1;i<=n;i++)
		dist[i]=oo;
	dist[s]=0;
	heap.push(M(0,s));     //这个顺序不能倒
	while(!heap.empty()&&cnt<n) {
		pll k=heap.top();     //取不在集合T（V-T）中距离最近的点
		heap.pop();
		int u=k.second;
		int distance=k.first;
		if(st[u]) continue;
		cnt++,res+=distance;
		st[u]=1;        //把该点加入集合T
		for(int i=head[u];i;i=adj[i].nxt) {
			int v=adj[i].to,w=adj[i].w;     //取出和u相连的点和边权
			if(dist[v]>w) {
				dist[v]=w;     //更新最短距离
				heap.push(M(dist[v],v));     //放入优先队列中
			}
		}
	} 
	return ;
}
signed main() {
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	while(m--) {
		scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);
		add(x,y,z),add(y,x,z);
	}
	s=1;
	prim();
	if(cnt!=n) printf("impossible\n");    //顶点个数不为n，构造不符，直接输出impossible
	else printf("%lld\n",res);      //反之，输出最小生成树的权和
	return 0;
}

---

Kruskal 算法

I.初始化 & 预处理

$f{a}_i=i$ ：表示顶点 $i$ 当前所指向的父亲节点，用于并查集中。

II.并查集

此算法需要用到并查集进行判环，为了优化时间复杂度，我们需要对其进行松弛操作。

int findp(int x) {
	if(fa[x]==x) return x;
	return fa[x]=findp(fa[x]);
}

这里也就不多讲了，如需深入了解并查集的，博主亲自推荐自家的博客。

III.算法流程

• 初始时只有 $n$ 个顶点而无边的非连通图 $V\in T$ ；

• 由于本算法的思想是每次找最短的边权值进行更新操作，储存完图后，每个顶点自成一个连通分量，然后按照边权从小到大排序；

• 不断选取当前未被选取过且权值最小的边，若该边依附的顶点落在 $T$ 中不同的连通分量上，则将此边加入 $T$ ，否则舍弃此边而选择下一条权值最小的边；

• 再依次类推，直至 $T$ 中所有顶点都在一个连通分量上。

IV.Code3（加边大发）

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int n,m,res,cnt;
struct Edge {
	int x,y,z;
}edge[N];
int fa[N];
void init_() {
	for(int i=1;i<=n;i++)
		fa[i]=i;
}
bool cmp(Edge x,Edge y) {
	return x.z<y.z;
} 
int findp(int x) {     //并查集找祖先
	if(fa[x]==x) return x;
	return fa[x]=findp(fa[x]);
}
void kruskal() {
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		int u=edge[i].x;
		int v=edge[i].y;
		int w=edge[i].z;
		int xp=findp(u);
		int yp=findp(v);
		if(xp!=yp) {     //是否存在环
			res+=w;
			cnt++;
			fa[xp]=yp;
		}
	}
	return ; 
}
signed main() {
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	init_();
	for(int i=1;i<=m;i++)   //储存图
		scanf("%lld%lld%lld",&edge[i].x,&edge[i].y,&edge[i].z);
	sort(edge+1,edge+m+1,cmp);    //从小到大排序
	kruskal();
	if(cnt!=n-1) printf("impossible\n");
	else printf("%lld\n",res);
	return 0;
}

---

三、总结

• Prim 算法，主要思想在于遍历时对每个点寻找最近的顶点进行更新，时间复杂度为 $O(n^2)$ ，适用于稠密图。

• Kruskal 算法，主要的流程时每次对于图中任意一点找与其的连边中最小的边权，因可能出现环，所以再用并查集 $O(n)$ 来判环；预处理时 $O(m\log m)$ 把边从小到大排序，所以总的时间复杂度为 $O(n+m\log m)$ ，适用于稀疏图。

• Prim 若加上堆优化的话时间复杂度为 $O(n\log m)$ ，但代码量相较麻烦，时间复杂度和 Kruskal 算法差不多，一般选用 Kruskal 。

• 注：$n$ 为图中的顶点数目，$m$ 为图中边的数量。

---

题库

古有人云： 听君一席话，胜读十年书

此处留下我的入门练习题单洛谷【最小生成树】 ID：970993